Question

18．设a为实数，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在R上的极大值与极小值．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；
（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出极值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=-1，
当f′（x）＞0时，即x＞1，或x＜-1时，函数为增函数，
当f′（x）＜0时，即-1＜x＜1，函数为减函数，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；
（2）f′（x）=x²-（a-1）x-a=（x-a）（x+1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=a，
①当a=-1时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）单调递增，函数无极值，
②当a＞-1时，
当f′（x）＞0时，即x＞a，或x＜-1时，函数为增函数，
当f′（x）＜0时，即-1＜x＜a，函数为减函数，
∴当x=-1时，函数有极大值，极大值为f（-1）=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+a=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$，
当x=a时，函数有极小值，极大值为f（a）=-$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$（a-1）a²+a²=-$\frac{5}{6}$a³+$\frac{3}{2}$a²，
③当a＜-1时，
当f′（x）＞0时，即x＞-1，或x＜a时，函数为增函数，
当f′（x）＜0时，即a＜x＜-1，函数为减函数，
∴当x=-1时，函数有极小值，极小值为f（-1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$，
当x=a时，函数有极大值，极大值为f（a）=-$\frac{5}{6}$a³+$\frac{3}{2}$a²．

点评 本题考查导数知识的运用，函数的单调性，函数的极值以及分类讨论的思想，属于中档题．