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18.设a为实数,函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$(a-1)x2-ax(x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在R上的极大值与极小值.

分析 (1)先求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间;
(2)先求导,再分类讨论,根据导数和函数极值的关系即可求出极值.

解答 解:(1)当a=1时,f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x,
∴f′(x)=x2-1,
令f′(x)=0,解得x=1,或x=-1,
当f′(x)>0时,即x>1,或x<-1时,函数为增函数,
当f′(x)<0时,即-1<x<1,函数为减函数,
∴f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减;
(2)f′(x)=x2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1),
令f′(x)=0,解得x=-1或x=a,
①当a=-1时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)单调递增,函数无极值,
②当a>-1时,
当f′(x)>0时,即x>a,或x<-1时,函数为增函数,
当f′(x)<0时,即-1<x<a,函数为减函数,
∴当x=-1时,函数有极大值,极大值为f(-1)=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$(a-1)+a=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$,
当x=a时,函数有极小值,极大值为f(a)=-$\frac{1}{3}$a3-$\frac{1}{2}$(a-1)a2+a2=-$\frac{5}{6}$a3+$\frac{3}{2}$a2
③当a<-1时,
当f′(x)>0时,即x>-1,或x<a时,函数为增函数,
当f′(x)<0时,即a<x<-1,函数为减函数,
∴当x=-1时,函数有极小值,极小值为f(-1)=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$,
当x=a时,函数有极大值,极大值为f(a)=-$\frac{5}{6}$a3+$\frac{3}{2}$a2

点评 本题考查导数知识的运用,函数的单调性,函数的极值以及分类讨论的思想,属于中档题.

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