Question

设命题p：非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要条件；命题q：“x＞1”是“x＞3”的充要条件，则（　　）

A．p∧q为真命题

B．p∨q为假命题

C．^?p∧q为假命题

D．^?p∨q为真命题

Answer 1

分析：根据两个向量数量积的性质和非零向量垂直的充要条件，讨论可得命题p是真命题．根据充分、必要条件的含义和不等式的性质，可得命题q是假命题．由此对照各个选项，就不难得出正确答案了．

解答：解：对于p，非零向量

a

，

b

，若|

a

|=|

b

|成立，则
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

| 2-|

b

| 2=0，可得(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)成立；
反之，若(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)成立，可得(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

| 2-|

b

| 2=0，
所以|

a

| 2=|

b

| 2，即|

a

|=|

b

|成立，
综上所述，命题p：“非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要条件”是真命题．
对于q，：“x＞1”不一定推出“x＞3”，反之“x＞3”一定推出“x＞1”，
所以，“x＞1”是“x＞3”的必要不充分条件．命题q是假命题
∴命题p是真命题且命题q是假命题，由此可得：^?p∧q为假命题
故选C

点评：本题以向量的运算和不等式的性质为载体，着重考查了复合命题的真假和必要条件、充分条件与充要条件的判断等知识点，属于基础题．