Question

（2014•金山区一模）定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x₀；
（2）判断函数f(x)=

1

x

是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数f(x)=lg

a

x2+1

为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：做题时要紧扣新概念“k性质函数”（满足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k））．
（1）由于函数f（x）=2^x为“1性质函数”，则f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），代入函数解析式可得x₀的值；
（2）开放性命题，假设函数f(x)=

1

x

是为“k性质函数”．则满足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）得到关于x₀的二次方程，若方程有解，则函数f（x）=

1

x

是为“k性质函数”，若方程无解，则函数f(x)=

1

x

不是为“k性质函数”；
（3）由于函数f(x)=lg

a

x2+1

为“2性质函数”，则f（x₀+2）=f（x₀）+f（2），代入解析式得到关于x₀的二次方程，a为方程的参数，由于方程一定有解，得到关于a的不等式解出即可．

解答：（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
解：（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x₀=1．                                           …（4分）
（2）若存在x₀满足条件，
则

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…（7分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能为“k性质函数”．                                …（10分）
（3）由条件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

5

，…（11分）
即

a

( x 2 0 +2)2+1

=

a2

5( x 2 0 +1)

（a＞0），
化简得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，…．（13分）
当a=5时，x₀=-1；                                                …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，
∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
综上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]                             …（16分）

点评：此题是个难题，考查创新概念及其应用，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．解决本题的灵魂在于“转化”，很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．求满足条件的参数的取值范围的题目是高考常考必考的．