Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值与最大值．
（3）将函数y=f（x）的图象按向量

d

平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的

d

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数解析式，从而求得函数f（x）的最小正周期．
（2）利用函数f（x）的单调性求出函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值和最小值．
（3）设平移后的图象的函数解析式为y=g（x），根据图象关于原点成中心对称，可得

d

=(-

kπ

2

+

3π

8

，-2)，
为使

d

的模最小，取k=1，此时

d

=(-

π

8

，-2)．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1=cos2x-sin2x+2=2+

2

sin(2x+

3π

4

)．（2分）
因此，函数f（x）的最小正周期为π．（4分）
（2）因为f(x)=2+

2

sin(2x+

3π

4

)在区间[

π

8

，

3π

8

]上是减函数，在区间[

3π

8

，

3π

4

]上是增函数，
又f(

π

8

)=2，f(

3π

8

)=2-

2

，f(

3π

4

)=3．（8分）
所以，函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为3，最小值为2-

2

．（10分）
（3）设平移后的图象的函数解析式为y=g（x），因为g（x）的图象关于原点成中心对称，所以g(x)=

2

sin(2x+kπ)(k∈Z)，所以

d

=(-

kπ

2

+

3π

8

，-2)，（12分）
为使

d

的模最小，则取k=1，此时

d

=(-

π

8

，-2)．（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，周期性和单调性，以及三角函数的图象的变换，解题的关键是对函数解析式的化简，以及对正弦函数的基础知识的熟练记忆，属于中档题．