Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．

（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（2）设点N是线段CD上一动点，且 =λ ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PC的中点E，则连接DE，

∵ME是△PBC的中位线，

∴ME ，又AD ，

∴ME AD，

∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．

∵PA=AB，M是PB的中点，

∴AM⊥PB，

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∵AM平面PAB，

∴BC⊥AM，

又PB平面PBC，BC平面PBC，PB∩BC=B，

∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，

∴DE⊥平面PBC，又DE平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD．

（2）解：以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．

∴ =（1，2，0）， =（0，1，1）， =（1，0，0），

∴ =λ =（λ，2λ，0）， =（λ+1，2λ，0），

= =（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．

∵AD⊥平面PAB，∴ 为平面PAB的一个法向量，

∴cos＜ ＞= = = =

=

设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ= ．

∴当 即 时，sinθ取得最大值，

∴MN与平面PAB所成的角最大时 ．

【解析】（1）取PC的中点E，连接DE，由四边形ADEM是平行四边形得AM∥DE，由AM⊥平面PBC得DE⊥平面PBC，故而平面PBC⊥平面PCD；（2）以A为原点建立坐标系，求出 和平面PAB的法向量 ，得出|cos＜ ＞|关于λ的函数，利用二次函数的性质得出|cos＜ ＞|取得最大值时的λ的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．