Question

在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m（m≤n）个球的方法数是C_2n^m，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取m-1个红球，1个白球；取m-2个红球，2个白球；…．于是可得到组合数公式：C_2n^m=C_n^mC_n⁰+C_n^m-1C_n¹+…+C_n^rC_n^m-r+…+C_n⁰C_n^m（m≤n），按如上方法化简下式得到的结果是：C_n⁰C_m⁰+C_n¹C_m¹+…+C_n^rC_m^r+…+C_n^mC_m^m=________（其中m≤n）

Answer 1

C_n+m^m（或C_n+mⁿ）
分析：仔细观仔细观察题目所给表达式，C_2n^m=C_n^mC_n⁰+C_n^m-1C_n¹+…+C_n^rC_n^m-r+…+C_n⁰C_n^m（m≤n），找出规律，上标和为m，下标和2n，即可利用组合数的性质C_n^k=C_n^n-k，化简表达式C_n⁰C_m⁰+C_n¹C_m¹+…+C_n^rC_m^r+…+C_n^mC_m^m，从而得到结果．
解答：因为C_n^k=C_n^n-k，所以原式=C_n⁰C_m⁰+C_n¹C_m¹+…+C_n^rC_m^r+…+C_n^mC_m^m
=C_n⁰C_m^m+C_n¹C_m^m-1+…+C_n^rC_m^m-r+…+C_n^mC_m⁰=C_n+m^m（或C_n+mⁿ），
故答案为：C_n+m^m（或C_n+mⁿ）．
点评：本题是类比推理题目，考查组合数的性质的应用，类比推理的思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．