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6.已知动点M与两点P1($\frac{r}{2}$,0),P2(2r,0)的距离之比为$\frac{1}{2}$,r>0.
(1)求动点M的轨迹Γ的方程;
(2)已知菱形ABCD的一个内角为60°,顶点A,B在直线l:y=2x+3上,顶点C,D在Γ上,当直线l与Γ无公共点时,求菱形ABCD的面积S的取值范围.

分析 (1)利用直接法,求动点M的轨迹Γ的方程;
(2)求出0<r<$\frac{3}{\sqrt{5}}$,可得得0<b<3,求出a的范围,即可求菱形ABCD的面积S的取值范围.

解答 解:(1)设M(x,y),则
∵动点M与两点P1($\frac{r}{2}$,0),P2(2r,0)的距离之比为$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{\sqrt{(x-\frac{r}{2})^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{(x-2r)^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,
化简可得x2+y2=r2
(2)∵直线l与Γ无公共点,∴圆心到直线的距离$\frac{3}{\sqrt{5}}$>r,∴0<r<$\frac{3}{\sqrt{5}}$
设AB=a,直线CD的方程为y=2x+b,则圆心到直线的距离为d=$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$<r,
∴0<b<3,
∵$\frac{|b-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,∴b=3-$\frac{\sqrt{15}}{2}$a,
∴0<a<$\frac{6}{\sqrt{15}}$,
∴菱形ABCD的面积S=2$•\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$∈(0,$\frac{6\sqrt{3}}{5}$).

点评 本题考查直接法求轨迹方程和直线与圆位置关系的运用,考查直线方程,属于中档题.

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