Question

已知抛物线C：y²=2px，F为C的焦点，F到准线距离为2，直线l过焦点F且与抛物线交于A、B两点．
（1）求

OA

•

OB

的值．
（2）若

FA

=λ

BF

，求△ABO面积S的最小值．
（3）在（2）条件下，若S≤

5

，求λ的范围．

Answer 1

分析：（1）利用p的意义即可求出，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及向量的数量积即可求出；
（2）利用

FA

=λ

BF

，y12=4x1，y22=4x2，三角形的面积公式及基本不等式的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论解出即可．

解答：解：（1）∵焦点F到准线距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为y²=4x，F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，联立

my=x-1 y2=4x

消去x得到y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-4（m²+1）+4m²+1=-3；
（2）由（1）（不妨设y₁＞0，y₂＜0）及

FA

=λ

BF

可知：

x1-1=λ(1-x2) y1=-λy2

，λ＞0，而y12=4x1，y22=4x2，∴y22=

4

λ

．
S_△ABO=

1

2

×1×y1+

1

2

×1×(-y2)=

-(λ+1)

2

y2，
∴S2=

(λ+1)2

4

y22=

(λ+1)2

λ

=λ+

1

λ

+2≥2

λ× 1 λ

+2=4，当且仅当λ=1取等号，即S_min=2．
（3）由（2）可知：S=

λ+ 1 λ +2

，
∴

λ+ 1 λ +2

≤

5

，解得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

．

点评：熟练掌握抛物线定义p的意义、过焦点的直线与抛物线的相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量的数量积、三角形的面积公式及基本不等式的性质是解题的关键．