(本题满分15分)已知正方体的棱长为1,点在上,点在上,且
(1)求直线与平面所成角的余弦值;
(2)用表示平面和侧面所成的锐二面角的大小,求;
(3)若分别在上,并满足,探索:当的重心为且时,求实数的取值范围.
(1) (2),则(3) .
【解析】第一问中利用以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系
设为平面的法向量,又正方体的棱长为1,
借助于,得到结论
第二问中,,是平面的法向量
,又平面和侧面所成的锐二面角为
,则
第三问中,因为分别在上,且
故,
所以当的重心为
然后利用垂直关系得到结论。
解:(1)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系
又正方体的棱长为1,
设为平面的法向量
令,则
设直线与平面所成角为,
直线与平面所成角的余弦值为 (5分)
(2),是平面的法向量
,又平面和侧面所成的锐二面角为
,则 (5分)
(3)因为分别在上,且
故,
所以当的重心为,而
,
当时,
为恒等式
所以,实数的取值范围为 (5分)
科目:高中数学 来源:2013届浙江省余姚中学高三上学期期中考试文科数学试卷(带解析) 题型:解答题
(本题满分15分)已知点(0,1),,直线、都是圆的切线(点不在轴上).
(Ⅰ)求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作直线与(Ⅰ)中的抛物线相交于两点,问是否存在定点使为常数?若存在,求出点的坐标及常数;若不存在,请说明理由
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三10月月考理科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知函数.
(Ⅰ)若为定义域上的单调函数,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值;
(Ⅲ)当,且时,证明:.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省桐乡市高三下学期2月模拟考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知圆N:和抛物线C:,圆的切线与抛物线C交于不同的两点A,B,
(1)当直线的斜率为1时,求线段AB的长;
(2)设点M和点N关于直线对称,问是否存在直线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:杭州市2010年第二次高考科目教学质量检测 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线,曲线
(1)若且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数的取值;
(2)若,直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求|AB+|CD|的取值范围。[来源:Z+xx+k.Com]
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