Question

（本题满分15分）已知正方体的棱长为1，点在上，点在上，且

（1）求直线与平面所成角的余弦值；

（2）用表示平面和侧面所成的锐二面角的大小，求；

（3）若分别在上，并满足，探索：当的重心为且时，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）   （2），则（3） .                   

【解析】第一问中利用以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

设为平面的法向量，又正方体的棱长为1，

借助于，得到结论

第二问中，，是平面的法向量

    ，又平面和侧面所成的锐二面角为

    ，则 

第三问中，因为分别在上，且

    故，

所以当的重心为

然后利用垂直关系得到结论。

解：（1）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

    又正方体的棱长为1，

    设为平面的法向量

      令，则

   

    设直线与平面所成角为，

    直线与平面所成角的余弦值为          （5分）

    （2），是平面的法向量

    ，又平面和侧面所成的锐二面角为

    ，则          （5分）

    （3）因为分别在上，且

    故，

所以当的重心为，而

    ，

当时，

    为恒等式

    所以，实数的取值范围为                     （5分）