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(本题满分15分)已知正方体的棱长为1,点上,点上,且

(1)求直线与平面所成角的余弦值;

(2)用表示平面和侧面所成的锐二面角的大小,求

(3)若分别在上,并满足,探索:当的重心为时,求实数的取值范围.

 

【答案】

(1)   (2),则(3) .                   

【解析】第一问中利用以轴,轴,轴建立空间直角坐标系

为平面的法向量,又正方体的棱长为1,

借助于,得到结论

第二问中,是平面的法向量

    ,又平面和侧面所成的锐二面角为

    ,则 

第三问中,因为分别在上,且

    故

所以当的重心为

然后利用垂直关系得到结论。

解:(1)以轴,轴,轴建立空间直角坐标系

    又正方体的棱长为1,

    设为平面的法向量

      令,则

   

    设直线与平面所成角为

    直线与平面所成角的余弦值为          (5分)

    (2)是平面的法向量

    ,又平面和侧面所成的锐二面角为

    ,则          (5分)

    (3)因为分别在上,且

    故

所以当的重心为,而

   

时,

    为恒等式

    所以,实数的取值范围为                     (5分)

 

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