Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到A₁DE的位置，使A₂C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DE⊥平面A₁CD，A₁C⊥DE，由此能证明A₁C⊥平面BCDE．
（2）以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CM与平面A₁BE所成角．

解答： （1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，
∴DE⊥平面A₁CD，又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE，∵A₁C⊥CD，
∴A₁C⊥平面BCDE．
（2）解：以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（-2，0，0），A₁（0，0，2

3

），B（0，3，0），
E（-2，2，0），

A1B

=（0，3，-2

3

），

BE

=（-2，-1，0），
设平面A₁BE的法向量

n

=（x，y，z），
则

A1B • n =3y-2 3 z=0 BE • n =-2x-y=0

，取x=-1，得

n

=（-1，2，

3

），
M（-1，0，

3

），

CM

=(-1，0，

3

)，
cosθ=

CM • n

| CM |•| n |

=

4

2•2 2

=

2

2

，
∴CM与平面A₁BE所成角为45°．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．