Question

（2013•惠州模拟）给定圆P：x²+y²=2x及抛物线S：y²=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D，如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析：先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，由此可求直线l的方程．

解答：解：圆P的方程为（x-1）²+y²=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P（1，0），
设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y²=4ky+4，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有

y1+y2=4k y1y2=-4

，…（2分）
则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1)．…（4分）
故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+(

y 2 1 - y 2 2

4

)2
=(y1-y2)2[1+(

y1+y2

4

)2]=16(k2+1)2，…（7分）
因此|AD|=4（k²+1）．…（8分）
因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，…（10分）
所以|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6
∴k=±

2

2

…（12分）
∴l方程为

2

x-y-

2

=0或

2

x+y-

2

=0．…（14分）

点评：本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键．