Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．则点A到平面PBC的距离是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先证明BC⊥平面PAC，可得平面PBC⊥平面PAC，过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，则AF的长即为点A到面PBC的距离，由此可得结论．
解答：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC=2．
取AB的中点E，连接CE，

由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，
又BE=AB=2，所以CE=AB，所以△ABC为等腰直角三角形，所以AC⊥BC，
又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC?平面ABCD，由三垂线定理得，BC⊥PC
因为PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，则AF的长即为点A到平面PBC的距离，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，
所以AF=，即点A到平面PBC的距离为
故选C．
点评：本题考查点到面的距离，考查学生的计算能力，考查线面、面面垂直，正确作出表示点A到平面PBC的距离的线段是关键．