Question

（Ⅰ）已知矩阵A=

0 1 a 0

，矩阵B=

0 2 b 0

，直线l₁：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0，求直线l₂的方程．
（Ⅱ）求直线

x=-1+2t y=-2t

被曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦长．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）因为直线l₁经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B的变换得到直线l₃．故直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃，故可求出矩阵AB，即求出参量a，b．然后根据矩阵变换求得直线l₂的方程即可．
对于（Ⅱ）求直线被曲线所截得的弦长，因为直线和曲线都是参数方程，需要消去参数把它们都化成标准方程，然后根据点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，在根据三角形的勾股定理求得弦长即可．

解答：（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃
：BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，得l₁变换到l₃的变换公式

x′=2ax y′=by

，
则得到直线2ax+by+4=0  即直线l₁：x-y+4=0，
则有

2a=1 b=-1

解得a=

1

2

，b=-1．
此时B=

0 2 -1 0

，同理可得l₂的方程为2y-x+4=0
故答案为：x-2y-4=0．
（Ⅱ）解：直线

x=-1+2t y=-2t

的普通方程为x+y+1=0，
曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圆心为（1，-1）半径为4的圆．
则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=

|1-1+1|

12+12

=

2

2

设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2

42-( 2 2 )2

=

62

，
∴直线被曲线截得的弦长为

62

．

点评：此题主要考查了矩阵变换和直线及圆的参数方程的化简，题中涉及到点到直线公式和勾股定理的应用，属于综合性试题．