Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离是5，求抛物线的方程及m的值．

Answer 1

分三种情况加以讨论
（1）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设其方程为y²=2px（p＞0）
代入A点坐标，得2pm=9…①
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5
∴m+

p

2

=5…②
将①②两式联解得：m=

1

2

、p=9或m=

9

2

、p=1，
相应的抛物线方程为y²=18x和y²=2x；
（2）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设其方程为y²=-2px（p＞0）
代入A点坐标，得-2pm=9…③
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5，∴-m+

p

2

=5…④
将③④两式联解得：m=-

1

2

、p=9或m=-

9

2

、p=1，
相应的抛物线方程为y²=-18x和y²=-2x；
可得m=-

1

2

或m=

9

2

，相应的抛物线方程为y²=-18x或y²=-2x；
（3）当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x²=-2qy（q＞0）
将点A（m，-3）代入方程，得m²=6q…③
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5
∴3+

q

2

=5解之得q=4，代入③得m=±2

6

此时抛物线的方程为x²=-8y，
综上所述，抛物线方程为y²=18x，m=

1

2

；或抛物线方程为y²=2x，m=

9

2

；或抛物线方程为y²=-18x，m=-

1

2

；或抛物线的方程为y²=-2x，m=

9

2

；或抛物线的方程为x²=-8y，m=±2

6

．