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(本小题满分12分) 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).

(1)求函数h(x)的定义域;

(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合.

 

【答案】

(1) (-1,1).(2) h(x)是奇函数.(3) {x|0<x<1}.

【解析】(1)求f(x)和g(x)的定义域的交集即为h(x)的定义域.

(2)因为h(-x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.

(3)由f(3)=2,得a=2. h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0,即log2(1+x)>log2(1-x),利用对数函数的单调性可转化为1+x>1-x>0,解此不等式即可.

(1)由对数的意义,分别得1+x>0,1-x>0,即x>-1,x<1.

∴函数f(x)的定义域为(-1,+∞),函数g(x)的定义域为(-∞,1),

∴函数h(x)的定义域为(-1,1).

(2)∵对任意的x∈(-1,1),-x∈(-1,1),

h(-x)=f(-x)-g(-x)

=loga(1-x)-loga(1+x)

=g(x)-f(x)=-h(x),

∴h(x)是奇函数.

(3)由f(3)=2,得a=2.

此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),

由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0,

∴log2(1+x)>log2(1-x).

由1+x>1-x>0,解得0<x<1.

故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}.

 

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3
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ON
|=6,
ON
=
5
OM
.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程:
(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
OP
=3
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