Question

已知函数f（x）的导函数f^′（x）=-3x²+6x+9．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

解：（1）由f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3）＜0，得x＜-1或x＞3，
由f′（x）=-3（x+1）（x-3）＞0，得-1＜x＜3，
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调增区间为（-1，3）；
（2）设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴3a=-3，2b=6，c=9，
即a=-1，b=3，c=9．
故f（x）=-x³+3x²+9x+d，
由（1）知f（x）在（-2，-1）上单调递减，在（-1，2）上单调递增，
又f（2）=22+d＞f（-2）=2-d，
∴f（x）_max=22+d=20，
∴d=-2，
∴f（x）=-x³+3x²+9x-2，
∴f（x）在区间[-2，2]上的最小值为f（-1）=-7．
分析：（1）根据函数的单调性与导数的关系，令导数f′（x）＞0（或＜0），解不等式即可求出其单调递增区间和单调递减区间；
（2）根据函数的导数，设出函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，求导，利用对应系数相等，求得a=-1，b=3，c=9，根据（1）可知函数在区间[-2，2]上的单调性，从而根据其最大值求出d的值，求出其最小值，
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和闭区间上函数的最值问题，根据函数的导数求出函数的解析式是解题的关键，增加了题目的难度，考查运算能力和逆向思维能力，属中档题．