Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的焦距，利用离心率求得a和c的关系进而求得a和b的关系，把右焦点F的坐标代入直线AB的方程，利用韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而求得ON的斜率．
（2）根据题意可知

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．设出M的坐标利用1）中各点的坐标整理求得x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．代入椭圆的方程整理求得λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．利用（1）中x₁+x₂和x₁•x₂的表达式代入整理求得x₁x₂+3y₁y₂=0，进而把A，B的坐标代入椭圆的方程，联立方程求得λ²+μ²=1，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，则可推断出λ=cosθ，μ=sinθ．进而判断出对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为

c

a

=

6

3

，
所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点F的坐标为（

2

b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

2

b②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
所以KON=

y0

x0

=-

1

3

，即为所求．
（2）显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，
有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又点在椭圆C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²
整理为λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1•x2=

3b2

4

．
所以
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2
=3b²-9b²+6b²=0⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．
对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立，
而λ²+μ²=1
在直角坐标系x-o-y中，取点P（λ，μ），
设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，显然λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生综合分析问题，基础知识的综合运用以及基本的计算能力．