Question

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为    ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是    ．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a^x+b^x-c^x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
（2）对于①，把函数式f（x）=a^x+b^x-c^x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；
对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．
令f（x）=a^x+b^x-c^x=．
得，所以．
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）因为，
又，
所以对?x∈（-∞，1），．
所以命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a^x=，b^x=，c^x=．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
若三角形为钝角三角形，则a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．