Question

20．已知抛物线x²=2y过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出抛物线x²=2y的焦点坐标，得过抛物线x²=2y的焦点的直线方程，将所得方程与抛物线x²=2y联解，消去y得：x²-2kx-1=0，根据韦达定理得x₁x₂=-1．再用函数求导数的方法，得抛物线过A点的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），化简得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，同理得到在点B处切线方程为y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，两方程消去x，得两切线交点Q纵坐标满足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，可得点A的纵坐标是-$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵抛物线x²=2y的焦点为F（0，$\frac{1}{2}$）
∴设过抛物线x²=2y的焦点的直线为y=kx+$\frac{1}{2}$．
设直线与抛物线的交点分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得：x²-2kx-1=0，根据韦达定理，得x₁x₂=-1，
抛物线x²=2y，即二次函数y=$\frac{1}{2}$x²，对函数求导数，得y'=x，
所以抛物线在点P处的切线斜率为k₁=x₁，
可得切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），化简得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
同理，得到抛物线在点Q处切线方程为y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
两方程消去x，得两切线交点A纵坐标满足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，
∵x₁x₂=-1，
∴y_A=-$\frac{1}{2}$，即点A的纵坐标是-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题给出抛物线过焦点的弦，分别在两个端点处的切线交于点A，求A点的纵坐标，考查了抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．