Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，向量$\overrightarrow{m}$=（4，b²+c²-a²），$\overrightarrow{n}$=（1，S），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A；
（2）已知k=$\frac{\sqrt{2}b-c}{a}$，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标及两向量平行的条件列出关系式，再利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理列出关系式，代入计算求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）已知k利用正弦定理化简，把表示出的C代入并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出k的范围．

解答 解：（1）∵在△ABC中，△ABC的面积为S，向量$\overrightarrow{m}$=（4，b²+c²-a²），$\overrightarrow{n}$=（1，S），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴$\frac{4}{1}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{S}$，即4S=b²+c²-a²，
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，b²+c²-a²=2bccosA，
∴2bcsinA=2bccosA，即sinA=cosA，
∴tanA=1，
则A=45°；
（2）根据正弦定理得：k=$\frac{\sqrt{2}b-c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{sin45°}$=2sinB-$\sqrt{2}$sinC，
∵C=180°-（A+B）=135°-B，
∴k=2sinB-$\sqrt{2}$sin（135°-B）=2sinB-$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB）=3sinB-cosB=$\sqrt{10}$sin（B-D）（其中sinD=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosD=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，tanD=$\frac{1}{3}$），
∵-1≤sin（B-D）≤1，
∴-$\sqrt{10}$≤k≤$\sqrt{10}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．