Question

14．如图，多面体A₁B₁-ABC中，△ABC与△AA₁C都是边长为2的正三角形，四边形ABB₁A₁是平行四边形，且平面A₁AC⊥平面ABC．
（1）求证：A₁B⊥AC₁；
（2）在线段BB₁上是否存在点M，使得过CM的平面与直线AB平行，且与底面ABC所成的角为45°？若存在，请确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，由正三角形性质得A₁O⊥AC，BO⊥AC，由线面垂直得A₁O⊥平面ABC，从而以O为原点，分别以OB、AC、OA₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁B⊥AC．
（2）设点M存在，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），求出平面CMN的法向量和平面ABC的法向量，由平面CNM与底面ABC成45°角，能求出在线段BB₁上是存在点M，当BM=$\frac{2}{3}$BB₁时使得过CM的平面与直线AB平行，且与底面ABC所成的角为45°．

解答 （1）证明：取AC中点O，连结A₁O，BO，
∵△ABC和△AA₁C都是正三角形，
∴A₁O⊥AC，BO⊥AC，
∵平面A₁AC⊥底面ABC，平面A₁AC∩底面ABC=AC，
∴A₁O⊥平面ABC，又∵BO?平面ABC，∴A₁O⊥BO，
∴OB、AC、OA₁两两垂直，
以O为原点，分别以OB、AC、OA₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知得A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{AC}$，∴A₁B⊥AC．
（2）解：假设点M存在，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），
设过CM且与AB平行的平面交AA₁于点N，连结MN，NC，
∴AB∥MN，∴四边形ABMN是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
又$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AN}=λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，$λ，\sqrt{3}λ$），
∴N（0，λ-1，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{CN}$=（0，$λ-2，\sqrt{3}λ$），
又$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），∴$\overrightarrow{NM}=（\sqrt{3}，1，0）$，
设平面CMN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=（λ-2）x+\sqrt{3}λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{λ-2}{λ}$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面CNM与底面ABC成45°角，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{|\frac{λ-2}{λ}|}{\sqrt{4+（\frac{λ-2}{λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$或λ=-2（舍）．
∴在线段BB₁上是存在点M，当BM=$\frac{2}{3}$BB₁时使得过CM的平面与直线AB平行，且与底面ABC所成的角为45°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考百满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．