Question

（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小。

Answer 1

（I）见解析；（II）直线A₁E与面A₁BP所成角为60^o。

本试题主要是考查了折叠图的运用。求证线面的垂直和线面较大 求解的综合运用。
（1）由于在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。并且在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁－EF－B的一个平面角，那么利用条件可证明。
（2））利用三垂线的逆定理作出线面角。设A₁E在面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于Q，
则∠EA₁Q就是A₁E与面A₁BP所成的角，然后借助于直角三角形求解。
解：不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE。
又BEEF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP。  --------------------------------7分
（II）在图2中，A₁E⊥面BEP，∴A₁E⊥BP，∴BP垂直于A₁E在面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A₁E在面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于Q，
则∠EA₁Q就是A₁E与面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60^o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A₁E⊥面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A₁E=1，
∴在Rt△A₁EQ中，，即直线A₁E与面A₁BP所成角为60^o。
----------------------------14分