【题目】如图,在四棱锥中,底面
为平行四边形,侧面
底面
.已知
,
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)在线段上是否存在一点
,使
?若存在,请求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;
的长为1
【解析】
(1)的中点
,连接
,连接
,连接
,由面面垂直性质可知
平面
;结合余弦定理、勾股定理可知
,从而以
,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系,可求出
的法向量为
,由
可求出
,从而可求出直线
与平面
所成角的正弦值.
(2)设线段上的点
,且
,通过
可求出
,由
可得
,从而可知
即可求出
的值,即可求出
的长.
解:(1)取的中点
,连接
,
,
,且
,
侧面
底面
,且侧面
底面
,
平面
,
平面
,连接
,在
中,由余弦定理可知
,得
.
由 可得
,连接
,可知
,且
.
则以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系.
则:,
,
,
,
.
所以,
.设平面
的法向量为
,
由,取
,得
;又
,
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
直线
与平面
所成角的正弦值为
;
(2)设线段上的点
,且
,
.由
,
则,解得
,
则,
,要使
,则
,
即,得
,此时
.
故线段的中点
满足
,此时
的长为1.
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【题目】直角坐标系中曲线的参数方程:
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,
点的极坐标
,在平面直角坐标系中,直线
经过点
,倾斜角为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的参数方程;
(2)设直线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】某工厂对一批新产品的长度(单位:)进行检测,如下图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A.20,22.5B.22.5,25C.22.5,22.75D.22.75,22.75
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【题目】如图,在正三棱柱中,
,
,由顶点
沿棱柱侧面经过棱
到顶点
的最短路线与棱
的交点记为
,求:
(1)三棱柱的侧面展开科的对角线长;
(2)该最短路线的长及的值;
(3)平面与平面
所成二面角(锐角)的大小.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且两个焦点的坐标分别为
,
.
(1)求的方程;
(2)若,
,
为
上的三个不同的点,
为坐标原点,且
,求证:四边形
的面积为定值.
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【题目】为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况,从中选取60名同学将其成绩(百分制,均为正数)分成六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形,回答下列问题:
(1)求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图,估计本次考试成绩的众数、均值;
(3)根据评奖规则,排名靠前10%的同学可以获奖,请你估计获奖的同学至少需要所少分?
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【题目】设数列的首项为
,前
项和为
,若对任意的
,均有
(
是常数且
)成立,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”,求数列
的通项公式;
(2)是否存在数列既是“
数列”,也是“
数列”?若存在,求出符合条件的数列
的通项公式及对应的
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列为“
数列”,
,设
,证明:
.
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【题目】某观测站在目标
的南偏西
方向,从
出发有一条南偏东
走向的公路,在
处测得与
相距
的公路
处有一个人正沿着此公路向
走去,走
到达
,此时测得
距离为
,若此人必须在
分钟内从
处到达
处,则此人的最小速度为( )
A. B.
C.
D.
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