Question

【题目】如图，正方形中， ， 与交于点，现将沿折起得到三棱锥， ， 分别是， 的中点.

(1)求证： ；

(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据折叠前几何关系得， ，再根据线面垂直判定定理得平面，即得；（2）先确定三棱锥的取最大体积的条件：三棱锥的高为，再根据三棱锥体积公式得三棱锥的体积为时条件： 平面，最后根据等体积法求三棱锥的体积.

试题解析：(1)依题意易知， ， ，∴平面，

又∵平面，∴.

(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，

中， ，作于，∴，∴，

∴为等边三角形，∴与重合，即平面，

易知.

∵平面，∴，∴，

∴.