Question

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则

1

a

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中圆的方程x²+y²+2x-4y+1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答：解：圆x²+y²+2x-4y+1=0是以（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，
又∵直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，
故圆心（-1，2）在直线ax-by+2=0上
即：

a

2

+b=1
则

1

a

+

1

b

=

a 2 +b

a

+

a 2 +b

b

=（

1

2

+1）+（

b

a

+

a

2b

）≥

3

2

+

2

故

1

a

+

1

b

的最小值为

3

2

+

2

故答案为：

3

2

+

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．