【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为, 在轴负半轴上有一点,且
(1)若过三点的圆 恰好与直线相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在满足题意的点且的取值范围是.
【解析】
(1)根据,得,所以|F1F2|=a,利用,可得F1为BF2的中点,从而可得△ABF2的外接圆圆心为,半径r=|F1A|=a,根据过A、B、F2三点的圆与直线相切,利用点到直线的距离公式,即可确定椭圆方程;
(2)由(1)知F2(1,0),设l的方程为:y=k(x﹣1)与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合菱形对角线垂直,所以,可得m,k之间的关系,从而可得结论.
(1)由题意,得,所以|F1F2|=a,∵|AF1|=|AF2|=a,,
∴F1为BF2的中点,∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a,∴△ABF2的外接圆圆心为,半径r=|F1A|=a,
又过A、B、F2三点的圆与直线相切,所以,
∴a=2,∴c=1,b2=a2﹣c2=3.∴所求椭圆方程为;
(2)由(1)知F2(1,0),设l的方程为:y=k(x﹣1),
将直线方程与椭圆方程联立,整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0;
设M(x1,y1),N(x2,y2),则;
假设存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直,所以,
又
又MN的方向向量是(1,k),故k(y1+y2)+x1+x2﹣2m=0,则k2(x1+x2﹣2)+x1+x2﹣2m=0,
即,由已知条件知k≠0且k∈R,
∴,∴,故存在满足题意的点P且m的取值范围是.
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【题目】已知椭圆经过抛物线的焦点,上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为.
(1)求的方程;
(2)若点关于原点的对称点为,过点作直线交于另一点,交轴于点,且∥.判断是否为定值,若是求出该值;若不是请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,C2极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
(1)求C1的极坐标方程和C2的普通方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为,设C2与C3的交点为M,N,又C1:x=﹣2与x轴交点为H,求△HMN的面积.
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【题目】已知椭圆,P是椭圆的上顶点,过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A,设点A关于原点的对称点为B
(1)求面积的最大值;
(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部,求斜率k的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为,过椭圆的左、右焦点分别作倾斜角为的直线,且之间的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆只有一个公共点,求点到直线的距离之积.
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【题目】把一块边长为的正六边形铁皮,沿图中的虚线(虛线与正六边形的对应边垂直)剪去六个全等的四边形(阴影部分),折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器(焊接损耗忽略),设容器的底面边长为.
(1)若,且该容器的表面积为时,在该容器内注入水,水深为,若将一根长度为的玻璃棒(粗细忽略)放入容器内,一端置于处,另一端置于侧棱上,忽略铁皮厚度,求玻璃棒浸人水中部分的长度;
(2)求该容器的底面边长的范围,使得该容器的体积始终不大于.
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【题目】天上有些恒星的亮度是会变化的,其中一种称为造父(型)变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.
上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图,其中视星等的数值越小,亮度越高,则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等,分别约是( )
A.5.5,3.7B.5.4,4.4C.6.5,3.7D.5.5,4.4
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