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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为 轴负半轴上有一点,且

1)若过三点的圆 恰好与直线相切,求椭圆C的方程;

2)在(1)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.

【答案】1;(2)存在满足题意的点的取值范围是

【解析】

1)根据,得,所以|F1F2|a,利用,可得F1BF2的中点,从而可得ABF2的外接圆圆心为,半径r|F1A|a,根据过ABF2三点的圆与直线相切,利用点到直线的距离公式,即可确定椭圆方程;

2)由(1)知F210),设l的方程为:ykx1)与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合菱形对角线垂直,所以,可得mk之间的关系,从而可得结论.

1)由题意,得,所以|F1F2|a,∵|AF1||AF2|a

F1BF2的中点,∴|AF1||AF2||F1F2|a,∴△ABF2的外接圆圆心为,半径r|F1A|a

又过ABF2三点的圆与直线相切,所以

a2,∴c1b2a2c23.∴所求椭圆方程为

2)由(1)知F210),设l的方程为:ykx1),

将直线方程与椭圆方程联立,整理得(3+4k2x28k2x+4k2120

Mx1y1),Nx2y2),则

假设存在点Pm0),使得以PMPN为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直,所以

MN的方向向量是(1k),故ky1+y2+x1+x22m0,则k2x1+x22+x1+x22m0

,由已知条件知k≠0kR

,∴,故存在满足题意的点Pm的取值范围是.

练习册系列答案
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