Question

5．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切，求出b，a，即可求椭圆M的方程；
（2）直线l：y=x+m与椭圆M联立，利用$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求m的值．

解答 解：（1）因为抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，即F（1，0），
又椭圆M的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，a＞b＞0$，且a²-b²=1，
又以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线$l：x-2\sqrt{2}y+2=0$相切，
即$b=\frac{{|{1-0+2}|}}{{\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}}}=1$，所以椭圆M的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.⇒3{x^2}+4mx+2{m^2}-2=0$，
△=（4m）²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0$⇒-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂），
又${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m，{y_1}+{y_2}=\frac{2}{3}m$，即$P（-\frac{4}{3}m，\frac{2}{3}m）$在椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，
即${（-\frac{4}{3}m）^2}+2{（\frac{2}{3}m）^2}=2⇒m=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，注意韦达定理的合理运用．