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【题目】已知 在椭圆C: 上,F为右焦点,PF⊥垂直于x轴,A,B,C,D为椭圆上的四个动点,且AC,BD交于原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)判断直线l: 与椭圆的位置关系;
(3)设A(x1 , y1),B(x2 , y2)满足 = ,判断kAB+kBC的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD面积的最大值,否则说明理由.

【答案】
(1)

解:由题意可知:PF⊥垂直于x轴,则c= =

= =

解得:a=2,b=1,

∴椭圆的标准方程:


(2)

解:将直线l: ,转化成( +y﹣ )m+( ﹣y﹣ )n=0,

由m,n∈R,则 ,解得:

∴动直线l恒过P点,

由P在椭圆上,

∴直线l与椭圆的位置关系是相切或相交


(3)

解:∵ = ,则4y1y2=x1x2

若直线AB的斜率不存在(或AB的斜率为0时),不满足4y1y2=x1x2

直线AB的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.

△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①

x1+x2=﹣ ,x1x2=

∵4y1y2=x1x2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

∴(4k2﹣1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,

即(4k2﹣1)× +4km(﹣ )+4m2=0.

整理得:k=±

∵A、B、C、D的位置可以轮换,∴AB、BC的斜率一个是 ,另一个就是﹣

∴kAB+kBC= =0,是定值.

不妨设kAB=﹣ ,则x1+x2=2m,x1x2=2(m2﹣1).

设原点到直线AB的距离为d,则SAOB= |AB|d= |x1﹣x2| = = = ≤1.

当m2=1时满足①取等号.

∴S四边形ABCD=4SAOB≤4,即四边形ABCD面积的最大值为4


【解析】(1)由PF⊥垂直于x轴,则c= = ,及a2=b2+c2 , 即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)将直线方程化简,即可求得 ,则动直线l恒过P点,直线l与椭圆的位置关系是相切或相交;(3)由 = ,则4y1y2=x1x2 , 当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及4y1y2=x1x2 , 求得k,把三角形AOB的面积化为关于m的函数,利用基本不等式求其最值,进一步得到四边形ABCD面积的最大值.

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