Question

已知椭圆，F₁、F₂分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF₁F₂内一点G满足，其中．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2，过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若，求△F₁AB面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）先确定G是△PF₁F₂的重心，坐标为，从而可得P的坐标，利用点P在椭圆C上，即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求出椭圆方程为，设直线AB的方程为x=my+1，与，利用韦达定理及向量条件，可求得，进而利用，S=，即可求得△F₁AB面积．
解答：解：（I）由，可得G的坐标为
∵，
∴G是△PF₁F₂的重心
令P的坐标是（x，y），则有，∴
∵点P在椭圆C上，∴
∴3a²=4b²，即4c²=a²，∴e=；
（Ⅱ）∵椭圆C短轴长为2，3a²=4b²
∴a=2，b=，c=1
∴椭圆方程为
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴y₁=-2y₂①
设直线AB的方程为x=my+1，与联立，消元整理可得（3m²+4）y²+6my-9=0
∴②，③
由①②③，可得
∴
∴=
∴△F₁AB面积S==
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，属于中档题．