(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)求在上的单调区间;
(Ⅱ)求在(为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?
(1)在上的单调减区间为, :单调增区间为
(2)在上的最大值为2
(3) 对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为
当时,,
解得到;解得到或.所以在上的单调减区间为, :单调增区间为 ………………4分
(Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)知在和上单调递减,在上单调递增,从而在处取得极大值.
又,所以在上的最大值为2.……………………6分
②当时,,当时,在上单调递增,所以在上的最大值为.所以当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为2. …………………………8分
(Ⅲ)假设曲线上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,则只能在轴的两侧,不妨设,则,且. …9分
因为是以为直角顶点的直角三角形,所以,
即:(1) ……………………………………10分
是否存在点等价于方程(1)是否有解.
若,则,代入方程(1)得:,此方程无解.…11分
若,则,代入方程(1)得到: ……12分
设,则在上恒成立.所以在上单调递增,从而,即有的值域为(不需证明),所以当时,方程有解,即方程(1)有解.
所以,对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上. …………………14分
考点:导数的运用。
点评:研究函数中的单调性以及最值问题,一般运用导数的思想,结合导数的符号来判定,进而确定结论,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com