Question

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n．
（Ⅰ）求证：?n∈N^*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点（

5

9

，

5

9

），斜率为-

1

2

的直线上；
（Ⅱ）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（Ⅲ）用记号S_n→m表示数列{Pn-

5

9

}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：
①第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为

2

6

=

1

3

，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为

1

3

Pn．…（3分）
②第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为

5

6

，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为

5

6

(1-Pn)．
∴Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，变形得 Pn+1-

5

9

=-

1

2

( Pn-

5

9

 )．
∴点（P_n，P_n+1）恒在过定点（

5

9

，

5

9

），斜率为-

1

2

的直线上．…（6分）
（Ⅱ）P₀=1，P1=

1

3

P0+

5

6

(1-P0)=

1

3

，
又由（Ⅰ）知：

Pn+1- 5 9

Pn- 5 9

=-

1

2

，
∴{Pn-

5

9

}是首项为P1-

5

9

=

1

3

-

5

9

=-

2

9

，公比为-

1

2

的等比数列，…（8分）
∴Pn-

5

9

=-

2

9

•(-

1

2

)n-1，
故所求通项公式为Pn=

5

9

+

(-1)n

9•2n-2

．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-

5

9

}是首项为a1=P1-

5

9

=-

2

9

，公比为q=-

1

2

的等比数列，又
∵

Snk+1→(n+1)k

S(n-1)k+1→nk

=

a1qnk(1+q+…+qk-1)

a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)

=qk（k∈N^*）是常数，
∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比数列，…（12分）
且S1→k=

- 2 9 [1-(- 1 2 )k]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)k]
从而 Tn=

S1→k(1-qkn)

1-qk

=

- 4 27 [1-(- 1 2 )k]•[1-(- 1 2 )kn]

1-(- 1 2 )k

=-

4

27

[1-(-

1

2

)kn]．…（14分）
解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=

- 2 9 [1-(- 1 2 )nk]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)nk]．…（14分）