Question

一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；
（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中的函数，即可用θ表示铁棒的长度L（θ）；
（2）解法一，利用换元法，确定函数单调递减；解法二：利用导数，确定函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）根据题中图形可知，L(θ)=

2

cosθ

+

2

sinθ

，θ∈(0，

π

2

)．…（4分）
（2）本题即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：L(θ)=

2

cosθ

+

2

sinθ

=2

sinθ+cosθ

sinθ•cosθ

，
令t=sinθ+cosθ，t∈(1，

2

]，原式可化为L(t)=

4t

t2-1

=

4

t- 1 t

…（9分）
因为L（t）为减函数，所以L(t)≥L(

2

)=4

2

．…（11分）
所以铁棒的最大长度为4

2

m．…（12分）
解法二：因为

L(θ)= -2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ

，所以

L′(θ)= -2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ = 2(sin3θ-cos3θ) sin2θcos2θ

=

2(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)

sin2θcos2θ

…（9分）
因为θ∈(0，

π

2

)，所以θ∈(0，

π

4

]时，L（θ）为减函数，θ∈[

π

4

，

π

2

)时，L（θ）为增函数，所以L(θ)min=L(

π

4

)=4

2

，…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是关键．