Question

2．设定义在R上的函数f（x）、g（x）满足$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，则有穷数{$\frac{f（n）}{g（n）}$+2n-1}（n∈N^*）的前8项和为（　　）

• A． 574
• B． 576
• C． 1088
• D． 1090

Answer 1

分析 首先由已知条件结合导数大于0判断出a^x为实数集上的增函数，由此得到a＞1，再由$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，求出a的值，然后利用等比（等差）数列的前n项和公式求解即可．

解答 解：由[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′＞0，
即函数$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x为实数集上的增函数，
则a＞1．
又$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a=2．
则数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$+2n-1}（n∈N^*）为数列{2ⁿ+2n-1}，
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列
和1为首项，2为公差的等差数列的和，
即有前8项和为$\frac{2（1-{2}^{8}）}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1+15）×8=574．
故选A．

点评 本题考查了函数的单调性与导数间的关系，考查了导数的运算法则，训练了利用等比（等差）数列的前n项和公式求值，是中档题．