Question

已知命题p：方程

x2

a-1

+

y2

a-5

=1表示双曲线，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个相异实根均大于3．若p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，根据命题为真命题时，实数a的取值情况，然后，结合条件，进行讨论完成．

解答： 解：命题p真命题时：则（a-1）（a-5）＜0，
∴1＜a＜5…4分
命题q真命题时：则

△＞0 (x1-3)(x2-3)＞0 x1+x2＞6

，
解得a＞

5

2

…9分
当命题p、q中有且仅有一个为真命题，则P真q假或p假q真，
当P真q假时，

1＜a＜5 a≤ 5 2

，
∴1＜a≤

5

2

，
当

a≤1或a≥5 a＞ 5 2

，
∴a≥5，
∴实数a的取值范围1＜a≤

5

2

或a≥5…14分．

点评：本题重点考查了命题的判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．