Question

【题目】在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，动点满足：直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于，两点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意得，利用，即，即可求解椭圆的标准方程；（2）设，，把直线方程与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式，即可求解出三角形的面积表示，在利用基本不等式即可求解面积的最小值.

试题解析：（1）已知，，设动点的坐标，

所以直线的斜率，直线的斜率，

又，所以，即.

（2）设，，直线的方程为，与椭圆联立

消去得，，.

∵，∴，∴.

即，把，

代入得，

整理得，所以到直线的距离.

∵，∴，当且仅当时取“=”号.

由得，∴，

即弦的长度的最小值是.

所以三角形的最小面积为.