精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x2+2x.函数y=g(x)的定义域为[a,b],值域为[
1
b
1
a
],其中a、b≠0.在x∈[a,b]时f(x)=g(x).
(1)求f(x)解析式;
(2)求a、b的值;
(3)是否存在实数m,使{(x,y)|y=g(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)|y=
1
4
x2+m}≠∅?若存在,求出m的值;若不存在请说明理由.
考点:函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法
专题:函数的性质及应用
分析:(1)设x<0,则-x>0.利用当x>0时,f(x)=-x2+2x和奇函数的性质即可得出.
(2)函数y=g(x)的定义域为[a,b],值域为[
1
b
1
a
]
,这表明
a<b
1
b
1
a
,可见a,b同号.
当a,b>0时,考虑以下三种情况:0<a<b≤1,0<a<1<b,1≤a<b<2.利用二次函数的单调性即可得到.
(3)考察函数g(x)=
-x2+2x,(1≤x≤
1+
5
2
)
x2+2x,(
-1-
5
2
≤x≤-1)
,由题意可得方程组
y=g(x)
y=
1
4
x2+m
有解,解出即可.
解答: 解:(1)设x<0,则-x>0.
∵当x>0时,f(x)=-x2+2x,
∴f(-x)=-x2-2x.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x.
又f(0)=0.
∴f(x)=
-x2+2x,x≥0
x2+2x,x<0

(2)函数y=g(x)的定义域为[a,b],值域为[
1
b
1
a
]
,这表明
a<b
1
b
1
a
,可见a,b同号.
当a,b>0时,考虑以下三种情况:0<a<b≤1,0<a<1<b,1≤a<b<2.
当0<a<b≤1,则
1
a
>1
,当x∈(0,1]时,f(x)≤1,这与g(x)的值域为[
1
b
1
a
]
相矛盾;
当1≤a<b<2,g(x)是减函数,可见
1
b
=g(b)=-b2+2b
1
a
=g(a)=-a2+2a
,解得
a=1
b=
1+
5
2

当a,b<0时,在-2<b<a≤-1条件下可得:
b=-
1+
5
2
a=-1

(3)考察函数g(x)=
-x2+2x,(1≤x≤
1+
5
2
)
x2+2x,(
-1-
5
2
≤x≤-1)

由题意方程组
y=g(x)
y=
1
4
x2+m
有解,
2x-
5
4
x2=m
[1,
1+
5
2
]
内有实数根;或2x+
3
4
x2=m
[
-1-
5
2
,-1]
内有实数根.
解得m∈[
-7+3
5
8
3
4
]
[-
4
3
,-
5
4
]
点评:本题考查了分段函数、二次函数的性质,考查了函数的奇偶性、单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
  (t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
).
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

根据下列条件解三角形:c=
6
,A=45°,a=2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其周长4(
2
+1),且sinB+sinC=
2
sinA.
(1)求边BC的长;
(2)若△ABC的面积为3sinA,求cosA的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+log2an,Sn为数列{bn}的前n项和,求使Sn-2n+1-8≤0成立的n的取值集合.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是(0,-
5
),离心率为
6
6
,左、右焦点分别为F1和F2
(1)求椭圆方程;
(2)试探究椭圆上是否存在一点P,使
PF1
PF2
=0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,若
OA
OB
=
OB
OC
=
OC
OA
,且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=2,则△ABC的周长为(  )
A、
3
B、2
3
C、3
3
D、6
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

去年年我校高二理科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,…,800进行编号:如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的五个人的编号
 
:(下面摘取了第7行至第9行)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)对任意的x1<x2,均有[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,且f(x)的图象经过点(-1,-1)和(0,1),则不等式|f(x)|<1的解集是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案