Question

水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.
(1)试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？
(2)为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

Answer 1

（1）2009年（2）570亿元

(1)设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题．依题意，得
515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)²＋…＋515×(1＋12%)^x－1＝9100×70%，即515×[1＋1.12＋1.12²＋…＋1.12^x－1]＝6370，，
整理得1.12^x≈2.4843?x≈log_1.122.4843＝≈8.03.
又x∈N，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题．
(2)设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y亿元．
首批退耕地国家应支付：515×10⁴×(300×0.7＋20)×8，
第二批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7，
第三批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6，
…
最后一批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)⁷×(300×0.7＋20)×1.
y＝，
令S＝8＋7×1.12＋6×1.12²＋…＋1×1.12⁷，①
1．12S＝8×1.12＋7×1.12²＋6×1.12³＋…＋1×1.12⁸，②
②－①，得0.12S＝－8×(1.12＋1.12²＋1.12³＋…＋1.12⁷)＋1×1.12⁸，
即0.12S＝－8＋＝－8＋≈－8＋，
解得S≈48.1，故y≈(515×10⁴×230×48.1)÷10⁸≈569.7亿元．
故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元