Question

已知函数f（x）=log₂（x-1），
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）设g（x）=f（x）+m，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+

4

f(x)

，求函数y=h（x）在[3，9]内的值域．

Answer 1

分析：（1）由对数式的真数大于0解得x的取值集合，即为所求函数f（x）的定义域；
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+m，要使函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，因为函数y=g（x）是单调函数，所以只要满足g（2）•g（3）＜0即可；
（3）根据题目给出的x的范围，求出f（x）的范围，运用函数y=x+

k

x

(k＞0)的单调性即可求出函数h（x）的值域．

解答：解：（1）要使原函数有意义，则x-1＞0，即x＞1．故所求函数的定义域为{x|x＞1}；
（2）g（x）=f（x）+m=log₂（x-1）+m，
由复合函数的单调性可知，g（x）=log₂（x-1）+m在其定义与内为增函数．
要使g（x）=log₂（x-1）+m在（2，3）内有且仅有一个零点，则g（2）•g（3）＜0，
即m（m+1）＜0，得-1＜m＜0．
所以，函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点的实数m的取值范围是（-1，0）．
（3）当3≤x≤9时，2≤x-1≤8，所以log₂2≤log₂（x-1）≤log₂8，
即1≤f（x）≤3，令f（x）=t，则1≤t≤3．
由h（x）=f（x）+

4

f(x)

，得：h（x）=y=t+

4

t

（1≤t≤3）．
函数y=t+

4

t

（1≤t≤3）的图象如图，

函数y=t+

4

t

在[1，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数，
所以，当t=2，即log₂（x-1）=2，x=5时，h（x）有最小值4，
而当t=1时，t+

4

t

=1+4=5，当t=3时，t+

4

t

=3+

4

3

=

13

3

，
所以，当t=1，即log₂（x-1）=1，x=3时，h（x）有最大值5．
所以，函数y=h（x）在[3，9]内的值域为[4，5]．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，考查了数学转化思想，问题（3）又考查了学生对函数y=x+

k

x

(k＞0)的单调性的掌握，此题是中档题．