Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）若椭圆的离心率为

1

2

，求椭圆的方程；
（2）求证：不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）联立直线与椭圆的方程，结合直线与椭圆有两个交点，且OA⊥OB，结合一元二次方程根的个数与△的关系及向量垂直的充要条件、韦达定理，求出a，b的值，可得椭圆的方程；
（2）由（1）有a²+b²-2a²•b²=0，可得

1

2a2

+

1

2b2

=1，即

( 2 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

=1，进而证得结论．

解答：（1）解：由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（2a²）²-4（a²+b²）[a²（1-b²）]＞0，整理得a²+b²＞1
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁•x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

∴y₁•y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1
∵OA⊥OB
∴x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=

2a2(1-b2)-2a2+a2+b2

a2+b2

=0，即a²+b²-2a²•b²=0．
又∵e²=

a2-b2

a2

=

1

4

∴a2=

7

6

，b2=

7

8

．
故椭圆的方程为

x2

7 6

+

y2

7 8

=1．
（2）证明：由（1）有a²+b²-2a²•b²=0，
∴

1

2a2

+

1

2b2

=1，
即

( 2 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

=1．
则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P（

2

2

，

2

2

）．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．