Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数g(x)=

bx-1

a2x+2b

，
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），则
①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）为偶函数，又为二次函数故b=0，a≠0，故可得出g（x）=

-1

a2x

用定义可判断出其为奇函数；
（2）①由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x得有不等实根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其为一关于a，b的关系式，从中整理 得出对称轴的范围，知其不在区间（-1，1）上，故可证得函数在区间（-1，1）上具有单调性．
②方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），若x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立，即x₁，x₂在两根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．

解答：解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴g(x)=-

1

a2x

，∴函数g（x）为奇函数；（4分）
（2）①由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x得方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根
∴△=b²-4a²＞0及a≠0得|

b

2a

|＞1即-

b

2a

＜-1或-

b

2a

＞1（7分）
又f（x）的对称轴x=-

b

2a

∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x₁，x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0
∴bx₁=-a²x₁²-1，同理bx₂=-a²x₂²-1
∴f（x₁）=ax₁²+bx₁+1=ax₁²-a²x₁²=（a-a²）x₁²
同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

即

a＞0 a-a2＜0

，∴a＞1
或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

即

a＜0 a-a2＞0

，解集为φ
故a的取值范围a＞1（16分）

点评：本题考查二次函数的性质，对其奇偶性怀单调性，图象的特征都有涉及，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．