Question

如图，三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA=SC=2

3

，SB=2

5

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角N-CM-B的一个三角函数值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，由勾股定理可得SO⊥BO，根据等腰三角形的性质可得SO⊥AC，从而得到SO⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC．
（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，求得平面CMN的一个法向量

n

，平面ABC的一个法向量

OS

，可得
cos?

n

•

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

的值，即为所求．
（3）根据点B到平面CMN的距离即为

MB

在

n

上射影的绝对值d=

| n • MB |

| n |

，求得结果．

解答：解：（1）取AC中点O，连接SO，OB，则SO⊥AC，BO⊥AC，
SO=2

2

，BO=2

3

，
∵SO²+BO²=20，SB²=20，∴SO²+BO²=SB²，∴SO⊥BO，
又SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，
∵SO?平面SAC，∴平面SAC⊥平面ABC．
（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)（6分）
∵

CM

=（3，

3

，0），

MN

=（-1，0，

2

）．
设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则

CM

•

n

=3x+

3

y=0，

MN

•

n

=-x+

2

z=0，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，∴

n

=（

2

，-

6

，1），
又

OS

=（0，0，2

2

 ）为平面ABC的一个法向量，
∴cos?

n

•

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

．
由图知

OS

与

n

的夹角即为二面角N-CM-B的大小，其余弦值为

1

3

．
（3）由（2）得

MB

=（-1，

3

，0），

n

=（

2

，-

6

，1）为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离即为

MB

在

n

上射影的绝对值d=

| n • MB |

| n |

=

4 2

3

．

点评：本题考查证明面面垂直的方法，求二面角的大小，点到平面的距离，求平面的法向量的坐标是解题的关键和易错点．