Question

如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求证四棱锥 A₁-ABCD为正四棱锥；
②求侧棱AA₁到截面B₁BDD₁的距离；
③求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小．

Answer 1

解：（1）证明：由AA₁=AD=AB，及∠A₁AD=∠A₁AB=60°
?△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，从而AA₁=A₁D=A₁B，
设A₁ 在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，
所以O是Rt△ABD的外心，
因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，
所以O是底面正方形ABCD的中心．
所以四棱锥A₁-ABCD是正四棱锥．
（2）解：由DB⊥平面AA₁O?截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O
?点O与侧棱AA₁的距离d等于AA₁和截面BB₁D₁D之间的距离．
取AA₁的中点M，则OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM=A₁C=a，
∴所求距离为a．
（3）解：注意到所求二面角的棱是B₁B，
由M是AA₁的中点?MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁?MB⊥B₁B，
又DB⊥AA₁，AA₁∥B₁B?DB⊥B₁B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨设AB=a=2，则BD=2，MB=MD=，
∴tanMBD=．
∴侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的夹角为arctan．
分析：①证明四棱锥的底面ABCD为正方形，顶点A1在底面的射影是底面正方形的中心，即可证明棱锥是正四棱锥；
②侧棱AA₁到截面B₁BDD₁的距离转化为点O与侧棱AA₁的距离，通过三角形的中位线求出距离即可；
③判断∠MBD是所求二面角侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角的平面角，通过解三角形求出二面角的大小即可．
点评：本题考查棱锥结构特征，二面角的求法，点到平面的距离的求法，才空间想象能力与计算能力．