【题目】已知函数,函数的图像为直线.
(Ⅰ)当时,若函数的图像永远在直线下方,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,若直线与函数的图像的有两个不同的交点,线段的中点为 ,求证:.
【答案】(1)的取值范围是;(2)见解析.
【解析】
(1)当时,若函数的图像永远在直线下方,转化为在上恒成立上,设,利用导数得到在时取得最大值,即可求解实数的取值范围;
(2)设的横坐标是,要证,转化为证,
不妨设,则,转化为证明,进而转化为即证,令,等价于证明在时恒成立. 构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可得到结论.
(1)当时,若函数的图像永远在直线下方,即,
在上恒成立,即在上恒成立上.
设,对求导得 ,
, ,
所以在时取得极大值,也是最大值,于是的取值范围是.
(2)设的横坐标是(不妨设),
要证,只需证,即证,
即证, 即证,
,只需证明:,
不妨设,则,所以只需证,
即证,只需证,
因为直线与曲线相交,所以,,
所以
则只需证,即证:,即证(※),
下面构造函数证明之:因为已设,且由的定义域知,,
所以令,则(※)等价于证明在时恒成立.
为此构造函数,则,
于是当时,,即在上递增,
又,所以在恒成立,即在时恒成立,
则(※)成立,于是原命题成立.
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【题目】给出下列命题:
①已知,“且”是“”的充分条件;
②已知平面向量,“”是“”的必要不充分条件;
③已知,“”是“”的充分不必要条件;
④命题:“,使且”的否定为:“,都有且”.其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知函数, ,
(1)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)设函数, ,若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数的图象与函数的图象交于点、,过线段的中点作轴的垂线分别交, 于点、,证明: 在点处的切线与在点处的切线不平行.
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【题目】定义满足不等式|xA|<B(A∈R,B>0)的实数x的集合叫做A的B邻域.若a+bt(t为正常数)的a+b邻域是一个关于原点对称的区间,则a2+b2的最小值为______.
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【题目】在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称声强.日常生活中能听到的声音其声强范围很大,最大和最小之间的比值可达倍.用声强的物理学单位表示声音强弱很不方便。当人耳听到两个强度不同的声音时,感觉的大小大致上与两个声强比值的常用对数成比例.所以引入声强级来表示声音的强弱.
某一处的声强级,是指该处的声强P与参考声强的比值的常用对数,单位为贝尔(B),其中参考声强瓦/米2实际生活中一般用1贝尔的十分之一,即分贝()来作为声强级的单位,其公式为声强级.若某工厂环境内有一台机器(声源)单独运转时,发出噪声的声强级为80分贝,那么两台相同的机器一同运转时(声强为原来的两倍),发出噪声的声强级为分______贝(精确到0.1分).
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【题目】某中学为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究的学习能力,他们以函数为基本素材研究该函数的相关性质,某研究小组6位同学取得部分研究成果如下:
①同学甲发现:函数的零点为;
②同学乙发现:函数是奇函数;
③同学丙发现:对于任意的都有;
④同学丁发现:对于任意的,都有;
⑤同学戊发现:对于函数定义域中任意的两个不同实数,,总满足;
⑥同学己发现:求使的x的取值范围是.
其中正确结论的序号为________.
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【题目】某森林出现火灾,火势正以每分钟的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为60元.
(1)设派名消防队员前去救火,用分钟将火扑灭,试建立与的函数关系式;
(2)问应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?
(总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费)
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