Question

15．已知直线l：x=t与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点
（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，求得$|AB|\;=\sqrt{6}$，当M为椭圆C的顶点（-2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，即可求得△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）由题意可知：设M（x₀，y₀），则有${x_0}^2+2{y_0}^2=4$，则直线MA的方程为$y-n=\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}$，从而$|{OE}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|$，同理即可求得$|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$，则$|{OE}|•|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|•|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$=$|{\frac{{{t^2}y_0^2-{n^2}x_0^2}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$=$|{\frac{{4{y_0}^2-4{n^2}}}{{{y_0}^2-{n^2}}}}|$=4．

解答 解：（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
解得：$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$|AB|\;=\sqrt{6}$．[（2分）]
当M为椭圆C的顶点（-2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]
∴△MAB面积的最大值是$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$．[（5分）]
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，-n），从而t²+2n²=4．[（6分）]
设M（x₀，y₀），则有${x_0}^2+2{y_0}^2=4$，x₀≠t，y₀≠±n．[（7分）]
直线MA的方程为$y-n=\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，[（8分）]
令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}$，从而$|{OE}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|$．[（9分）]
直线MB的方程为$y+n=\frac{{{y_0}+n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，[（10分）]
令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}$，从而$|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$．[（11分）]
所以$|{OE}|•|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|•|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$=$|{\frac{{{t^2}y_0^2-{n^2}x_0^2}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$，
=$|{\frac{{（{4-2{n^2}}）y_0^2-{n^2}（{4-2y_0^2}）}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$，[（13分）]
=$|{\frac{{4{y_0}^2-4{n^2}}}{{{y_0}^2-{n^2}}}}|$=4．
∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．