Question

（理）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，O为坐标原点，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，P₁是线段AB的中点，对于给定的公差不为零的a_n，都能找到唯一的一个b_n，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数

 

（写出函数的解析式）的图象上．

Answer 1

分析：设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，…P_n，是互不相同的点．由题意可得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中点，所以a1=b1=

1

2

．所以Pn(

1

2

+(n-1)d，

1

2

qn-1)．所以猜想是一个指数函数，即为f（x）=a^x，代入整理可得a

1

2

=

1

2

即a=

1

4

．进而得到答案．

解答：解：设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，…P_n，是互不相同的点．
由题意可得

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中点，
所以P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．
所以P1(

1

2

，

1

2

)P2(

1

2

+d，

1

2

q)P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以Pn(

1

2

+(n-1)d，

1

2

qn-1)．
所以猜想是一个指数函数，即为f（x）=a^x，
所以a

1

2

+(n-1)d=a

1

2

•a(n-1)d=a

1

2

•(ad)n-1=

1

2

qn-1
所以a

1

2

=

1

2

即a=

1

4

．
故答案为：y=(

1

4

)x．

点评：本题主要考查知识间的渗透问题，是向量形式和坐标形式的相互转化，点的横纵坐标是一个数列进而利用数列知识研究其关系．