Question

设数列｛a｝的首项a=1,前n项和S满足关系式：3tS-(2t+3)S=3t(t>0,n=2,3,4…).(1)求证：数列｛a｝是等比数列；(2)设数列｛a｝的公比为f(t),若数列｛b｝满足：b=1,b=f()(n=2,3,4…),求;(3) 对于（2）中的数列｛b｝，求bb-bb+bb-…+(-1) bb的和。

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）bb-bb+bb-…+(-1) bb=

解析:

：(1)由S= a=1，S= a+a=1+a,

3t(1+a)-(2t+3)=3t, ∴a=∴=

又3tS-(2t+3)S=3t，3tS-(2t+3)S=3t两式相减

得3ta-(2t+3)a=0 ∴=( n=,3,4…)

∴｛a｝是首项a=1,公比为等比数列.

(2)∵f(t)==+, ∴b=f()=+b

｛b｝是首项为1,公差为的等差数列，∴b=1+(n-1)=

又由(1)知a=(),lga=(n-1)lg

==

(3) 由b=,可知｛b｝，｛b｝分别是首项为1和,公差均为的等差数列，∴b=，b=     当n=2m(m=1,2,3, …)时,

bb-bb+bb-bb+…+bb-bb

=b(b-b)+b(b-b)+…+b(b-b)=-(b+b+…+b)

=-=-=-

当n=2m-1(m=1,2,3, …)时,

bb-bb+bb-bb+…-bb+bb

=-+ bb=-+

==

∴bb-bb+bb-…+(-1) bb=