Question

19．设函数f（x）=2ka^x+（k-3）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²-x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用f（0）=0求解．
（2）根据单调性得出不等式x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立．

解答 解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，
所以2k+（k-3）=0，即k=1，
检验知，符合条件；
（2）f（x）=2（a^x-a ^-x） （a＞0且a≠1）
因为f（2）＜0，a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1
因为y=a^x单调递减，y=a ^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²-x）＜f（-tx-4）
所以x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
所以△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．

点评 本题考查了函数的性质，运用求解数值，判断单调性求解字母的范围，属于中档题，综合性较大．