Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0．把点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆C的方程为：$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，与b²+c²=a²联立解出即可得出．
（2）设my=x-2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（2+m²）y²+4my+2=0，△＞0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）A（0，b）．
∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=$（c-\frac{4}{3}，-\frac{b}{3}）$•（c，-b）=$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0．
把点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的方程为：$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，
解得a²=2，∴b²+c²=2，可得b²=2-c²，代入$c（c-\frac{4}{3}）$+$\frac{1}{3}{b}^{2}$=0，解得c=1，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设my=x-2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（2+m²）y²+4my+2=0，
△=16m²-8（2+m²）＞0，解得$m＞\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$．
∴|DE|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{16{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}-\frac{8}{2+{m}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（{m}^{2}-2）}}{2+{m}^{2}}$．
原点O到直线DE的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$d|DE|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$×$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（{m}^{2}-2）}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$．
设$\sqrt{{m}^{2}-2}$=t＞0，则m²=t²+2．
∴S_△ODE=$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{2}$，当且仅当t=2时取等号．
∴m=$±\sqrt{6}$，满足△＞0．
∴当m=$±\sqrt{6}$时，△ODE面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．