Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是D₁C₁上的一点且EC₁=3D₁ E，
（1）求直线BE与平面ABCD所成角的大小；
（2）求异面直线BE与CD所成角的大小．（以上结果均用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）在DC上取一点F，使DF=1，连接EF，则EF⊥平面ABCD，再连接FB，则∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角，故可求；
（2）由于AB∥CD，可知∠EBA（或其补角）是异面直线BE与DC所成的角．连接AD₁与AE，在Rt△AD₁E中，可求异而直线BE与CD所成角的大小．

解答：解：（1）在DC上取一点F，使DF=1，连接EF，则EF⊥平面ABCD，
再连接FB，则∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角，…（3分）
∵BF=5，∴tan∠EBF=

4

5

，故直线BE与平面ABCD所成角为arctan

4

5

   …（6分）
（2）由题意AB∥CD，∴∠EBA（或其补角）是异面直线BE与DC所成的角．…（8分）
连接AD₁与AE，在Rt△AD₁E中，可得AE=

33

，
又在Rt△BEC₁中，可得BE=

41

∴cos∠EBA=

3 41

41

   …（10分）
∴异而直线BE与CD所成角的大小为arccos

3 41

41

   …（12分）

点评：本题以正方体为载体，考查线面角，考查线线角，关键是正确作出相应的角．