Question

4．化简：$\frac{2co{s}^{4}x-2co{s}^{2}x+\frac{1}{2}}{2tan（\frac{π}{4}-x）si{n}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$．

Answer 1

分析 由诱导公式可得sin（$\frac{π}{4}$+x）=cos（$\frac{π}{4}$-x），整体代入要求的式子结合三角函数公式化简可得．

解答 解：由诱导公式可得sin（$\frac{π}{4}$+x）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$-x）]=cos（$\frac{π}{4}$-x），
∴$\frac{2co{s}^{4}x-2co{s}^{2}x+\frac{1}{2}}{2tan（\frac{π}{4}-x）si{n}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{\frac{1}{2}（4co{s}^{4}x-4co{s}^{2}x+1）}{2•\frac{sin（\frac{π}{4}-x）}{cos（\frac{π}{4}-x）}•co{s}^{2}（\frac{π}{4}-x）}$
=$\frac{\frac{1}{2}（2co{s}^{2}x-1）^{2}}{2sin（\frac{π}{4}-x）cos（\frac{π}{4}-x）}$=$\frac{\frac{1}{2}（cos2x）^{2}}{sin（\frac{π}{2}-2x）}$=$\frac{\frac{1}{2}（cos2x）^{2}}{cos2x}$=$\frac{1}{2}$cos2x．

点评 本题考查三角函数的化简求值，涉及诱导公式和二倍角公式以及整体思想，属中档题．